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El TVI y el Dado de tres caras.

Lunes, 11 diciembre 2006

Veamos un bonito y útil resultado matemático hoy: El Teorema del Valor Intermedio (TVI)

El Teorema del Valor Intermedio en su versión más simple (unidimensional) dice:

Dada una función real de variable real continua en un intervalo cerrado [a,b] tal que f(a) sea diferente de f(b) siempre cumple que para todo u perteneciente al intervalo (f(a),f(b)) existe al menos un punto c perteneciente al intervalo (a,b) tal que f(c)=u.

Teorema del Valor Intermedio

Veamos ahora una sencilla aplicación de este teorema: La construcción de un dado cilíndrico de tres caras.

CilindroUn cilindro finito tiene tres caras, las dos bases y la pared lateral. Así pues parece razonable que jugando con la altura (h) y el radio (r) del cilindro se pueda conseguir un Dado de tres caras.

Un Dado de tres caras es cualquier objeto tal que al ser lanzado caiga siempre sobre una de sus caras, siendo igual de probable que caiga sobre cualquiera de ellas.

Usaremos el TVI para demostrar que fijado un radio (r=1) existe al una algura (h) tal que si se lanza el cilindro es igual de probable que caiga sobre una base, la otra o el lado.

Antes de empezar haremos alguna suposición: Suponemos que existe una función continua f que depende del cociente h/r (en nuestro caso h/r=h) y que expresa la probabilidad de que el cilindro caiga sobre su lateral. así pues: f(h/r)=p. Si conseguimos demostrar que f(h/r)=1/3 para algun valor de h/r habremos encontrado las medidas del cilindro que buscamos, dado que el resto de probabilidad (2/3) se tiene que repartir entre las dos bases y por simetría lo hará a partes iguales.

Ahora bien, todo el mundo verá obvio que fijado r si elejimos un valor de h muy grande (HG) obtendremos un cilindro muy alto que con toda probabilidad caerá siempre sobre su costado. En cambio si escojemos un valor ridículamente pequeño de h (HP) obtenemos algo parecido a una moneda que como todo el mundo sabe rara vez caera de canto. Así pues la probabilidad de que caiga sobre el lado se acerca a 1 en el primer caso y a 0 en el segundo.

Pues bien, ya tenemos todo lo necesario para demostrar que exite el Dado cilíndrico de tres caras: tenemos una función real continua (f) que depende de una variable real (h) y un intervalo (HP,HG) tal que f(HP) es un valor próximo a 0 y f(HG) se acerca a 1. Como 1/3 pertenece al intervalo (0,1) podemos asegurar que para algún valor de h comprendido entre HP y HG la probablidad de que el cilindro caiga sobre su costado será exactamente 1/3.

Aclaración final: a pesar de haber demostrado que existe una solución, no sabemos nada acerca de su estabilidad ni estamos seguros de que la función f sea continua. A pesar de ello es bastante probable que así sea y por lo tanto que se pueda construir.

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2 comentarios

  1. Acabo de llegar a tu blog, y me ha parecido muy interesante y divertido, esta muy bien pensado.
    Sobre este artículo del dado de tres caras, me ha recordado un viejo chiste, el de un matemático que intenta demostrar que 2+2=4 y al cabo de los días aparece, para decir, 2+2 no se cuánto vale, pero se que la solución existe y es única :)


  2. Hola, he llegado aquí a través de Gaussianos.

    En Gaussianos han publicado el artículo y a mi se me ha ocurrido una solución. Si te interesa puedo hacer un pequeño documento explicando cómo he llegado a esa solución (no digo que sea la correcta, pero me gusta la pinta que tiene).

    Un saludo.



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