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Dados No Transitivos

Viernes, 15 diciembre 2006

La Teoría de la Probabilidad es en general esquiva para aquellos que no están acostumbrados a adentrarse en sus feudos. Un buen ejemplo de ello lo constituyen los conjuntos de Dados No Transitivos.

Un Conjunto de Dados No Transitivos es un conjunto de tres o más dados cuyas caras están numeradas de manera que el primero gana al segundo, el segundo al tercero… y así hasta el último que (sorprendentemente) gana al primero. Cuando digo que un dado gana a otro me refiero a que si tiramos ambos dados el primero sacará una más puntos que el segundo la mayoría de veces. Para hacerlo con más gracia impondremos que la suma de las caras de cada dado sea igual en todos los casos.

Pero lo mejor será que veamos un ejemplo aclaratorio:

En Grand Illusions tienen a la venta un par de Conjuntos de Dados No Transitivos. El primero, formado por tres dados tiene esta pinta:

Conjunto de 3 Dados No Transitivos

El Verde es de la forma (2,2,2,5,5,5) , el Rojo es de la forma (1,4,4,4,4,4) y el Azul (3,3,3,3,3,6). Como ven cada uno de estos dados tiene 21 puntos repartidos entre sus 6 caras, exactamente igual que un dado normal.

No sería difícil convencer a cualquiera de que se elija el dado que se elija se sacarán unos 3,5 (=21/6) puntos de media en cada tirada y que por lo tanto si se tiran dos de ellos la frecuencia con la que el primero ganará al segundo será aproximadamente del 50%.

Sin embargo esto es completamente falso. Veamos porqué gráficamente:

Tiradas de Dados No Transitivos

En la imágen superior están representados todas situaciones que se pueden dar al lanzar dos dados, en la primera tabla se representan las confrontaciones entre el dado Rojo y el Verde. Es fácil darse cuenta de que el dado Verde ganará al Rojo 21 de cada 36 veces (58,333%). Análogamente el Azul gana al Verde 21 de cada 36 veces (58,333%) y el Rojo gana al Azul 25 de cada 36 veces (69,444%).

Es decir, si nuestro oponente elige un dado cualquiera nosotros siempre podemos escoger otro que tenga cierta ventaja sobre aquel.

Por si esto fuese poco este conjunto de dados tiene la curiosa propiedad de que si una vez escogido un dado, lo lanzamos dos veces y sumamos sus puntuaciones las ventajas se invierten:

Tiradas dobles de Dados No Transitivos

En esta otra imágen tenetemos representados todos los posibles casos de tiradas dobles y como pueden ver ahora Rojo gana a Verde 765 de cada 1296 veces (59,027%), Verde gana a Azul 765 de cada 1296 veces (59,027%) y Azul gana Rojo 671 de cada 1296 veces (51,774%).

El otro Conjunto de Dados No Transitivos tiene 4 dados:

Conjunto de 4 Dados No Transitivos

Y su esquema de ventajas es el siguiente:

Conjunto de 4 Dados No Transitivos

Como pueden observar, en este caso las caras de los diferentes dados no suman siempre lo mismo y en ese sentido se podría decir que es un conjunto algo menos elegante. Sin embargo es probable que con cuatro dados sea más difícil para los demás percibir “el truco”.

Sea como fuere, los Conjuntos de Dados No Transitivos constituyen una bonita curiosidad matemática.

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7 comentarios

  1. Muy buen blog el que tenes.
    Me permito hacerte uns crítica/pedido : te leo por RSS, a veces offline, y me sería muy util si activaras la opción de posts completos para suscripción. Así podría llevarme tus artículos para leer en cualquier lado con mi portable firefox+newsfox. Gracias


  2. Gracias por tu comentario 486.

    Respecto al tema del RSS con entradas completas tengo que decir que ya lo tengo activado, pero que por culpa de un bug de WordPress las entradas que se leen en dos partes, es decir las que llevan el link “read the rest of this entry” se cortan en ese punto. No es algo que pueda arreglar de momento así que sintiéndolo mucho tendrás que pasar por aquí para poder leer los posts completos.


  3. No hay problema. Sera un gusto verlo cuando tenga conexión.


  4. […] Probabilidades. Fuente: elhombredelosdados […]


  5. Qué bueno. No tenía ni idea de la existencia de estas peculiaridades aplicadas a los dados. Soy carne de trilero.

    Y sí, soy de los que deja comentarios en entradas viejas de blogs sin actualizaciones recientes.


  6. Reblogueó esto en math – updatey comentado:
    Dados no transitivos & …


  7. Conoces una alguna relación con la proporción áurea? Me contaron de un trabajo de H. Steinhaus, On a paradox in applied probabilities, pero no lo encuentro! Gracias 👍



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